Math Coffee

崇基學院、新亞書院、聯合書院和逸夫書院

4 July, 2008 at 6:09 am Emmanuel Kowalski A remark concerning Lior’s remark: the function h(u) in the current (v4) version of the paper is _not_ the same as the one that was defined when T. Tao pointed out a problem with it. This earlier one (still visible on arXiv, v1) was defined in different ways depending on whether the idele had at most one or more than one non-unit component, and was therefore not invariant under multiplication by . (It is another problem with looking at such a paper if corrections as drastic as that are made without any indication of when and why).

4 July, 2008 at 8:15 am Terence Tao Dear Lior, Emmanuel is correct. The old definition of h was in fact problematic for a large number of reasons (the author was routinely integrating h on the idele class group C, which is only well-defined if h was -invariant). Changing the definition does indeed fix the problem I pointed out (and a number of other issues too). But Connes has pointed out a much more serious issue, in the proof of the trace formula in Theorem 7.3 (which is the heart of the matter, and is what should be focused on in any future revision): the author is trying to use adelic integration to control a function (namely, h) supported on the ideles, which cannot work as the ideles have measure zero in the adeles. (The first concrete error here arises in the equation after (7.13): the author has made a change of variables on the idele class group C that only makes sense when u is an idele, but u is being integrated over the adeles instead. All subsequent manipulations involving the adelic Fourier transform Hh of h are also highly suspect, since h is zero almost everywhere on the adeles.)

More generally, there is a philosophical objection as to why a purely multiplicative adelic approach such as this one cannot work. The argument only uses the multiplicative structure of , but not the additive structure of k. (For instance, the fact that k is a cocompact discrete additive subgroup of A is not used.) Because of this, the arguments would still hold if we simply deleted a finite number of finite places v from the adeles (and from ). If the arguments worked, this would mean that the Weil-Bombieri positivity criterion (Theorem 3.2 in the paper) would continue to hold even after deleting an arbitrary number of places. But I am pretty sure one can cook up a function g which (assuming RH) fails this massively stronger positivity property (basically, one needs to take g to be a well chosen slowly varying function with broad support, so that the Mellin transforms at Riemann zeroes, as well as the pole at 1 and the place at infinity, are negligible but which gives a bad contribution to a single large prime (and many good contributions to other primes which we delete).)

Emmanuel Kowalski That’s an interesting point indeed, if one considers that the RH doesn’t work over function fields once we take out a point of a (smooth projective) curve — there arise zeros of the zeta function which are not on the critical line.

7 July, 2008 at 9:59 am javier Dear Terence, I am not sure I understand your “philosophical” complain on using only the multiplicative structure and not the additive one. This is essentially the philosophy while working over the (so over-hyped lately) field with one element, which apparently comes into the game in the description of the Connes-Bost system on the latest Connes-Consani-Marcolli paper (Fun with F_un). From an algebraic point of view, you can often recover the additive structure of a ring from the multiplicative one provided that you fix the zero. There is an explanation of this fact (using the language of monads) in the (also famous lately) work by Nikolai Durov “A new approach to Arakelov geometry (Section 4.8, on additivity on algebraic monads). By the way, I wanted to tell you that I think you are doing an impressive work with this blog and that I really enjoy learning from it, even if this is the very first time I’ve got something sensible to say :-)

6 July, 2008 at 7:44 pm Terence Tao Dear Chip, Actually, the product has a number of poles on the line , when s is a multiple of . Li’s approach to the RH was not to tackle it directly, but instead to establish the Weil-Bombieri positivity condition which is known to be equivalent to RH. However, the proof of that equivalence implicitly uses the functional equation for the zeta function (via the explicit formula). If one starts deleting places (i.e. primes) from the problem, the RH stays intact (at least on the half-plane ), but the positivity condition does not, because the functional equation has been distorted.

The functional equation, incidentally, is perhaps the one non-trivial way we do know how to exploit the additive structure of k inside the adeles, indeed I believe this equation can be obtained from the Poisson summation formula for the adeles relative to k. But it seems that the functional equation alone is not enough to yield the RH; some other way of exploiting additive structure is also needed, but I have no idea what it should be. [Revised, July 7:] Looking back at Li’s paper, I see now that Poisson summation was indeed used quite a few times, and in actually a rather essential way, so my previous philosophical objection does not actually apply here. My revised opinion is now that, beyond the issues with the trace formula that caused the paper to be withdrawn, there is another fundamental problem with the paper, which is that the author is in fact implicitly assuming the Riemann hypothesis in order to justify some facts about the operator E (which one can think of as a sort of Mellin transform multiplier with symbol equal to the zeta function, related to the operator on ). More precisely, on page 18, the author establishes that and asserts that this implies that , but this requires certain invertibility properties of E which fail if there is a zero off of the critical line. (A related problem is that the decomposition used immediately afterwards is not justified, because is merely dense in rather than equal to it.)

6 July, 2008 at 5:28 pm Chip Neville Terence, I have a question about your comment: “Because of this, the arguments would still hold if we simply deleted a finite number of finite places v from the adeles (and from k^*). … (basically, one needs to take g to be a well chosen slowly varying function with broad support, so that the Mellin transforms at Riemann zeroes, as well as the pole at 1 and the place at infinity, are negligible but which gives a bad contribution to a single large prime (and many good contributions to other primes which we delete).)” Does this mean that you would be considering the “reduced” (for lack of a better name) zeta function \prod 1/(1-1/p^{-s}), where the product is taken over the set of primes not in a finite subset S? If so, this “reduced” zeta function has the same zeroes as the standard Riemann zeta function, since the finite product \prod_S 1/(1-1/p^{-s}) is an entire function with no zeroes in the complex plane. Thus the classical situation in the complex plane seems to be very different in this regard from the situation with function fields over smooth projective curves alluded to by Emmanuel above. Does anyone have an example of an infinite set S and corresponding reduced zeta function with zeroes in the half plane Re z > 1/2? A set S of primes p so that \sum_S 1/p^{1/2} converges will not do, since \prod_S 1/(1-1/p^{-s}) is holomorphic in the half plane Re z > 1/2 with no zeroes there. Perhaps a set S of primes P thick enough so that \sum_S 1/p^{1/2} diverges, but thin enough so that \sum_S 1/p converges, might do. This seems to me to be a delicate and difficult matter. I hope these questions do not sound too foolish.

7 July, 2008 at 11:01 am Terence Tao Dear Javier, I must confess I do not understand the field with one element much at all (beyond the formal device of setting q to 1 in any formula derived using and seeing what one gets), and don’t have anything intelligent to say on that topic. Regarding my philosophical objection, the point was that if one deleted some places from the adele ring A and the multiplicative group (e.g. if k was the rationals, one could delete the place 2 by replacing with the group of non-zero rationals with odd numerator and denominator) then one would still get a perfectly good “adele” ring in place of A, and a perfectly good multiplicative group in place of (which would be the invertible elements in the ring of rationals with odd denominator), but somehow the arithmetic aspects of the adeles have been distorted in the process (in particular, Poisson summation and the functional equation get affected). The Riemann hypothesis doesn’t seem to extend to this general setting, so that suggests that if one wants to use adeles to prove RH, one has to somehow exploit the fact that one has all places present, and not just a subset of such places. Now, Poisson summation does exploit this very fact, and so technically this means that my objection does not apply to Li’s paper, but I feel that Poisson summation is not sufficient by itself for this task (just as the functional equation is insufficient to resolve RH), and some further exploitation of additive (or field-theoretic) structure of k should be needed. I don’t have a precise formalisation of this feeling, though.

7 July, 2008 at 1:22 pm Gergely Harcos Dear Terry, you are absolutely right that Poisson summation over k inside A is the (now) standard way to obtain the functional equation for Hecke L-functions. This proof is due to Tate (his thesis from 1950), you can also find it in Weil’s Basic Number Theory, Chapter 7, Section 5.

Babak Hi Terrance, A few months ago I stumbled upon an interesting differential equation while using probability heuristics to explore the distribution of primes. It’s probably nothing, but on the off-chance that it might mean something to a better trained mind, I decided to blog about it: http://babaksjournal.blogspot.com/2008/07/differential-equation-estimating.html -Babak

15 July, 2008 at 7:57 am michele I think that the paper of Prof. Xian-Jin Li will be very useful for a future and definitive proof of the Riemann hypothesis. Furthermore, many mathematics contents of this paper can be applied for further progress in varios sectors of theoretical physics (p-adic and adelic strings, zeta strings).

商业价值挂帅是影响香港学风的第三大负面因素。在《香港的困境》一文中，郎咸平强调香港是一个商人治理的社会。他毫不客气地批评香港的执政精英"一不懂高层次宏观管理，二不懂高新技术，三尤其是不重视研究发展和长期规划，因为他们以前的成功和这些因素无关。"其实不仅政界如此，商业气息弥漫在香港社会的各个领域。在大学餐厅的饭桌上，你会听到教授们热心于讨论各自申请研究经费的数额，而不是某学者文章的好坏。香港人普遍信奉功利主义，既不热衷于学术研究，也很难理解其长远价值。在商业文化浸润下成长起来的香港学生，很早就学会压抑个性，将自己嵌入整齐划一的白领模式。他们在校园里举办社团活动，不仅西装革履，而且样式颜色都别无二致，活脱在上就职预科班。在这崇商抑文的环境中，很难想像哪个年轻人会狂热地投入到实验室或书堆里。

香港的大学资源很多，但比起美国来相对落后，特别是教授评选的学术标准，非常跟不上趟。老一代学者，在旧制度下养尊处优惯了，抵抗变革。这是学术死气沉沉的重要原因。

各位许多是经过香港的大学来美国求学的。在美国大学的中国研究生里，已经有香港帮了。大陆人能去香港上学才几年呀！这本身说明香港大学的成就。各位可能觉得香港的大学比美国还落后。我完全同意。所以才主张进一步美国化。不过，香港的大学比起大陆的大学来，领先恐怕越来越大了（清华北大除了在生源上有优势外，哪方面能和香港的学校比？）。这是最近十年美国化的结果。这一过程，一定要走到底才对。不知道各位什么看法。

其中有一句说：世界上没有任何一所一流大学座落在弹丸之地，香港不太可能产生世界一流大学----除非香港已经和中国融为一体

我相信象各位这些在美国大学里的香港帮，如果不经过香港的教育，事业上大部分恐怕没有这么顺．我倒是觉得，北大人有一股傲气很要不得．就是觉得自己老子天下第一，目空一切．我和在纽约大学教书的张旭东有过一场辩论，他嘲笑我＂不过拿了人家几个奖学金＂就感恩戴德．我则确实拿了人家一点钱就非常珍惜．毕竟这是人家的钱．香港的大学，对各位学术事业逐益不小，我对各位对香港学生的蔑视有些不安．人家父母勤奋劳作纳税，创造了这么繁荣稳定的社会，并且给钱请各位去读书．难道人家没有一点好的地方？我们看不到人家身上可以学的地方，是人家一无是处，还是我们有这北大教育培养出来的＂北大眼光＂，看不到人家的任何优点？这是否是因为中了北大的毒而不自知？

转移法孩子不听话，有时可以采用转移法以转移孩子的注意力和兴趣。

[13] 标题： 发表评论人：arithwsun [2009-8-2 3:20:27]    所以， 『博主：要面对两种评价体系和有了“退路”后增加的行为上的“反复”等等』 这正是交叉机制的魅力所在。交叉正是需要有『行为上的“反复”』的可能性，才能真正实行之。

[12] 标题： 发表评论人：arithwsun [2009-8-2 3:13:06]    『博主，- 交叉学科其实是个令人担忧的行当，怕的是两头不着杠，全靠教授自愿很难。要想做成必须连拉带推』 大学是应该讲究不强迫、不急燥的现代文明精神的地方，如果数学系教授觉得好，自然会在交叉学科上发展，觉得不好，再回到自己数学系搞基础科学，这种自由度，没什么不好。 博主可能是做应用出身，对数学这种基础学科的系的运行规律还不是特别了解。 另外，双管理制，才能保证交叉机制的长期实行。 至于博主所担心的教授自愿问题，可以通过准入机制来解决，实际上学部+工会意味着双倍的工资，也意味着双倍的学术休假，实行起来，想去的未必会少。真正要注意的反倒是准入机制，临时成员以及永久成员的评定问题，或者换句话说，就是如何良性实现教授会中的核心机构理事会。 基础学科的人需要交叉学科增进灵感，像很多交叉型学科中的科学家，何尝不需要提高自己的基础科学素养，但是如果他们老是呆在交叉型学院和实验室，很难有心境沉下来学习基础数学，基本上都是采用用到什么学什么的态度，我们发现，这实际上是远远不够的。这也是为什么我们国家应用学科总上不去的原因之一。 将工会和学部分开，就意味着，应用科学家也可以反向地到基础学科，成为其临时或永久成员。国外一些顶级应用科学家，完全具有在数学系得到永久成员资格的水平，反观国内，情况则不是很理想。博主的建议，仅是单向的，而我的这种建议，是双向的，可能反而实行起来，会更好。 实际上，国外大学的一些做法，已经表现出适应交叉学科发展的特点，如国外的医学和法律等专业，只有研究生，没有本科生，那么大量的基础专业本科生进入这些交叉型学科继续研究生学习，自然就会产生学科交叉的好处。 我的提法，有点超前，全世界大学还没有一个是这样的，只有前述剑桥大学有类似的通识-专业交叉做法。可能需要深入思考，欢迎提供建议和指正。

博主回复：8、9、10一并回：很有意思的讨论，有深度！考虑建立规模小但有更新能力的学院目的就是增加灵活性，学部和工会的并行也是个有意思的思路，但操作难度可能更大，譬如保留两个“户口”有其难处 - 要面对两种评价体系和有了“退路”后增加的行为上的“反复”等等，个人觉得还是“直来直去”的好。取消“系”这个运行单元还是可以操作的，我原先所在的交大药学院就坚持不设系 - 我们自嘲为“没戏”，课题组间的交流合作比较顺畅。另外一点个人经验 - 交叉学科其实是个令人担忧的行当，怕的是两头不着杠，全靠教授自愿很难。要想做成必须连拉带推 - 所以我考虑用学院为操作单元来做会比较现实一些。总之都是自己以前工作中的“随想”，抛砖引玉吧 - 很欣赏您的这些想法！

[9] 标题： 发表评论人：arithwsun [2009-8-1 3:18:39]    『博主：举例来说 - 将一部分数学、物理和工程类专业学科组或教研室与医学或生命科学学科合并』 但是，博主出的主意，却不敢苟同，貌似仍属旧的思维下的做法-形成某个固有单位，而实行之。 也许交叉制度需要更加灵活的做法。 实际上剑桥大学的Department(学术专业)和College（学生管理）制度，就是一种交叉制度，不过是在学问专业和通识文化之间的交叉。这种交叉，并不是要把原来的系打散，然后只留存下College，而是二者并存，才能谈及交叉。 对于学科之间的交叉建设，应该是类似的道理。基础科学的Department-School，仍然应该存在，不应打散。即使数学系教授从事于其他交叉学科研究，也仍应在数学系保持其永久成员资格以及日常贡献。 我的设想是这样，在大学设立学部（School-Department）和工会（Institute-Laboratry）两大体系，学部负责基础学科的专深，工会（先用这个词，非传统意义）则负责应用学科的进步。 在学部和工会之间，进行交叉的表现就是，一位科学家，既可以在学部拥有职位，又可以在工会拥有职位，而想要成为该校永久成员，则必须至少在二者之一，具有永久职位。 那么什么样的学科，适宜归属到学部，什么样的学科适应归属于工会呢？ 比如，数学系这种基础学科，就适合归属于学部，而生物系则适合属于工会。 实际上，人类历史发展到现在，基本上可以确定发展出了三大语言，自然语言，数学语言，音乐，语言是最基础的科学工具，因而会相应地产生出三大学部： 文理学部 数理学部 乐理学部 而人类在历史和科学上，也相应地发展出三大任务，不妨用带点道家色彩的词语来说，就是： 仿真 修真 务真 如计算机学科就可算是是仿真范畴，生物和医学算是修真范畴，政治法律乃至建筑学算是务真范畴。这些都属于交叉学科，随着科学的进步，需要越来越多的数理人才、文理人才、乐理人才投入其中。 学部可掌管学校的（单人）办公室的分配权，因为做基础学科的人，往往是单打独斗的。而工会则可掌管学校的实验室的分配权，交叉学科当然得是把人汇在一起，不能单打独斗。 那么一个科学家，在大学里就有可能具有双重身份。其待遇优惠可以跟休假（Sabtica）制度相联系。即，如果只有一重永久身份，则采用6年+1年休假方案，如果有二重永久身份，则采用5年+2年休假方案。这种吸引力对于大学教师来说是非常大的，因为他们当年选择从事大学工作，很多人看重的就是大学工作时间的自由以及充裕的寒暑假时间。

博主回复： 以前说“艺术”是“源于生活”而又“高于生活”，从这个意义上说你后三个评论就逊色了，想法明显偏离出可操作的范围，有点“乌托邦”的味道。 双倍工资和双倍学术休假不现实，把大学办成高干疗养院，还由纳税人来买单么？我说的“交叉学科之不容易推动”是来源于我在中国高校和现在美国工作的实战经历，以后高水平的交叉研究在国内逐步做起来后会有很多人（尤其是领军的）有这种同感，很多人（包括我本人）首先会想到“双向”以及“学校应该是个学术自由的地方”这些基本理念，但束缚我们突破能力的往往也是一些基本理念。如果让我来实施一个全局性的“交叉学科”机构设置我会毫不犹豫地用“单向”的办法，这里不会有来去自由的“魅力”可言，或者说真有“魅力”的话也是发生在后面，发生在你把多个学科带头人“安置”在同一屋檐下并让他们长期地在这个物理空间交流和讨论以后。当然很多人不同意这种“激进”想法的话我也不会奇怪，毕竟这是理论式推演嘛。 昨天我们NCRC这里开了三个平台合作的讨论会，下午2点一直开到晚7点 - 我负责的平台还马马虎虎，另两个似乎有无尽的问题和抱怨，想把来自于不同领域甚至是不同大学的资深教授捏合到一起做点事真不容易。最后主持会议的杜克大学副校长Robert Califf说了句很“怨”的话 - “我让全球范围内60家医院的医生们坐在一起讨论临床研究要比这容易多了，让几个科学家坐到一起并培养出点共识出来太难了”。我把会场上的这句“闲话”拿来和你共勉。最后，我的观点是能前瞻性地考虑点问题总比不考虑或没思路要好 - 尽管你我是在多管闲事，当几分钟“民间教育部长”。建议你把你一些思路整理一下成文，给中国的高等教育领域的杂志发篇论文，在更广泛的层面做讨论。

[15] 标题： 发表评论人：arithwsun [2009-8-2 6:04:05]    『有点“乌托邦”的味道』『我的观点是能前瞻性地考虑点问题总比不考虑或没思路要好』 确实如此。 不成熟的想法，总比不考虑要强。中国改革确实面临很大问题，关键问题就是历史上积累下的前瞻性思考和讨论不足。 『机构设置我会毫不犹豫地用“单向”的办法，这里不会有来去自由的“魅力”可言』 那就不是交叉了。你所举的实际操作问题，其因并不在“自由”，而在于你们的核心成员的准入机制，如果准入机制不做好，就是强制性“单向”也没有用，国内大学不早就是这样吗，前几年，连正常的校级人员调动都不准，户口还要另办。 建设大学，一定要按大学精神来办，不能以局部和表面的效率，来否定“不强迫、不急燥”的现代文明精神。 『长期地在这个物理空间交流和讨论』 这个很对，所以交叉机构要有实验室（教室）分配权，目前国内一些大学设置了一些虚拟的交叉机构，效果应该不够，顶多是又来一个分钱的渠道而已。但是，这个物理空间的建立，跟自由和双向并不矛盾。实际上，自由和双向能帮助学术特区的建立一个很好的淘汰机制，前提是其核心永久成员的高水平管理。 如果没有高水平管理，就是单向和强制性，也徒呼奈何。精神属性越高的工作，越是这样，因为你没办法强制一个人做出好的科研。 『双倍工资和双倍学术休假不现实，把大学办成高干疗养院，还由纳税人来买单么？』 不知剑桥大学是如何实行他们的工资制度的，剑桥大学的教授，角色既可能是一个系Department的教授，又可能是一个住宿学院College的成员，不知工资如何计算？ 实际上，双倍工资是可能的，正好可以配合“学术特区”想法，解决目前大学教师工资方面的问题。实际上，你肯定知道，学术休假跟旅游休假，完全是两个不同的概念，是赋予大学教授科研自由的一种方式，并不是疗养院制度。 其实，你所担忧的还是信任问题，大学教师值得纳税人信任么？如果答案为否，当然要建立一套完全不同于现代大学精神的另类大学。 而我的提议，是建立在准入机制健全的基础上，即只有永久成员才能享受学术休假制度。 实际上，直到现在，不知中国哪所大学是真正实行了学术休假制度的。

[17] 标题： 发表评论人：arithwsun [2009-8-2 6:49:43]    加一句：而不鼓励科学家的求异思维，后者正是科学发展的最重要动力。虽然后者的实行，也会付出相当的代价，博主的亲身感受肯定有相当部分来源于此。 但这个代价是值得的。 如果主持人感觉到这个代价极高时，超出了可以忍受的范围时，他要做的不是去否定“不强迫、不急燥”的精神，他要做的恰恰是，解散他的大项目组，将其管理范围做小到自己容忍的范围。 这种“自毁武功”做法，在传统的学院机构中是不可能做到的，这也是我反对博主的具体操作建议的原因所在，不管是其抽象性的态度，还是具体的做法----单向性地把基础学科，分划到交叉学科中去。 实际上，我支持双向性说法的一个假设是，现在的应用科学家，很有必要提高自己在基础科学上的素质，尤其是中国科学家，我不相信，就凭中国大学那种理工科数学教学体系，能够教出基础科学素质够格的顶级应用科学家。 这个问题，在国外肯定也在一定程度上存在。所以，我的这种学部-工会的提法，真的是“乌托邦” ，起码只有剑桥大学有相似的双轨制交叉体制，但通过理性的探讨，做些“乌托邦”式的前瞻性思考，对于科学家来说，也是一种乐趣。

16] 标题： 发表评论人：arithwsun [2009-8-2 6:34:58]    『我说的“交叉学科之不容易推动”是来源于我在中国高校和现在美国工作的实战经历，以后高水平的交叉研究在国内逐步做起来后会有很多人（尤其是领军的）有这种同感，』 这恰恰再次说明，交叉学科需要另外一个管理方法，不能为了交叉而交叉。你所举的亲身事例实际上也就说明，关于交叉科学的管理，即使在美国名校也尚未有很好的解决之道，容易落入行政性思维之中。 实际上，相比于实干家、企业家，科学家不容易形成共识是一件正常的事情，甚至是一件好事情。没有共识，就先别急着成立大项目，各自先找有共识的形成小项目进行探索就是了。 这些，跟交叉科学无关，实际上倒是更多地关于学界政治和学界经济，为了大额经费的申请成功，容易让团体实行强迫性求同的一些做法，而不鼓励科学家的求异思维，后者正是科学发展的最重要动力。 交叉科学并不意味着对大项目的无条件赞成，小的交叉也具有同样的重要性，尤其当后者更拥有相同的愿景和共识之后。这时候，坚持大学的不强迫、不急燥的精神，反倒是对大项目趋势的一种有益反动。