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Leibnizienne, cette théorie de l’espace géographique est contemporaine de celle qui aujourd’hui prévaut dans les sciences de la nature (Jammer 2008). Cette géographie s’appuie sur l’usage de deux types de métriques, les métriques topographiques et les métriques topologiques.

Un espace métrique mathématique est un ensemble d’éléments muni d’une distance, qui est une relation binaire entre les éléments de l’ensemble. La distance est une structure correspondant aux propriétés, au nombre de quatre, qui sont celles de la distance euclidienne classique, la distance dite à vol d’oiseau. La relation doit donner un nombre réel positif (il n’y a pas de distance négative !). Les trois autres propriétés sont la régularité (si la distance entre deux éléments est nulle, ces deux éléments sont identiques[5]), la symétrie (la distance entre x et y est la même qu’entre y et x), l’inégalité triangulaire (la distance entre deux éléments est toujours plus courte ou égale à celle correspondant à un chemin passant par un autre élément[6]). Un espace peut être métrique sans que pour autant sa distance corresponde à la distance commune, à partir du moment où la relation binaire choisie vérifie les principes de positivité, de régularité, de symétrie et d’inégalité triangulaire.

Cette théorie de l’espace propose comme second grand type de métrique, une métrique dite topologique à laquelle est associée l’image du réseau, alors qu’au premier est associé l’image de l’aire ou du territoire. La distinction entre ces deux métriques semble plus renvoyer à la différence entre le proche et le lointain. Au proche est associé un espace du voisinage marqué par sa dimension de type surfacique. Au lointain correspond l’image du réseau qui sépare, éloigne mais également relie.

Cette topologie permet de traiter des rapports de proximité et d’éloignement, non pas fondés sur l’usage d’une distance, mais sur des seules propriétés de formes. Par exemple, des éléments sont qualifiés de proches s’ils font partie d’un même intérieur, comme sont qualifiés de proches les éléments d’un intervalle ouvert de l’ensemble des nombre réels.

Une représentation graphique de la topologie de la partie (x, y, z) pourrait être la suivante, avec son intérieur et son bord, esquissant ainsi le rapport entre le proche et le lointain[7].

Avec cet exemple commun, l’usage de la topologie générale pour caractériser la morphologie d’espaces au départ non dotés d’une structure mathématique se révèle un exercice qui peut être périlleux. En effet, il faut que cet espace non mathématique, comme un espace géographique par exemple, soit doté de parties. Il faut ensuite trouver, parmi celles-ci, celles qui sont stables par l’union et l’intersection. Ils constitueraient une base d’ouverts. Dès lors que cette identification est faite, l’étude topologique de l’ensemble, devenu un espace topologique, peut débuter, relativement à cette base d’ouverts.

le groupe Belmandt

Ce principe, qui décompose un objet selon une base bien établie et qui fonde le principe de l’analyse, est à l’origine d’une partie de la démarche mise en œuvre par la géographie contemporaine des espaces habités.

Pour étudier la morphologie d’un ensemble de parties P(E), on le dote d’un processus d’extension (a) qui pour toute partie P lui fait correspondre par extension une autre partie a(P) qui inclut P, ∀P∈P(E), P⊂a(P), a(P)∈P(E) avec ∀, quel que soit, ∈, appartenant à, ⊂,inclus dans[9]. La morphologie d’un ensemble de parties dépend du processus d’extension pris en compte. En quelque sorte, le processus d’extension est le moteur d’exploration de l’ensemble et le constituant de l’espace qu’il devient.

Entre l’intérieur et l’extérieur, deux types de parties caractérisent cet entre-deux, le bord et l’abord de la partie. Le bord est défini comme étant la différence ensembliste entre l’intérieur et la partie elle-même.

L’union du bord et de l’abord constitue la frontière de la partie : δ(P)=b(P)∪ab(P)

Cette proximité et cet éloignement prétopologiques ne sont donc pas relatifs à des propriétés inter-éléments qui leur seraient spécifiques, liés à une quelconque relation entre ces seuls éléments, mais sont le résultat d’un rapport d’une partie à son complémentaire, établi par un processus d’extension. Autrement dit, l’échelle « proche, intermédiaire, lointain » est une propriété ensembliste et non pas élémentaire ; les éléments ne doivent leurs propriétés topologiques que par leur appartenance à des sous-ensembles dans un ensemble et aux relations prétopologiques entre ces sous-ensembles.

un élément est séparé d’un autre élément ou lui est au contraire relié s’ils appartiennent à des parties séparées ou au contraire, non séparées. Pour définir cette qualité, la prétopologie introduit les notions de fermeture et d’ouverture (F(P), O(P)) d’une partie P, correspondant respectivement au plus petit fermé contenant la partie et le plus grand ouvert inclus dans la partie.

la qualité de séparé ou relié est mathématiquement rapportée à la définition de la connexité. Ce terme ne traite pas uniquement des relations qui sont fondées sur la figure classique du réseau, entendu comme ensemble de nœuds et de lignes. Le caractère connexe ou non connexe d’un ensemble est établi à partir de la fermeture de ses parties. La prétopologie propose différents niveaux de connexité, de la forte à la simple

 « En particulier, chacun, à un moment donné, a été confronté au problème de la formalisation du concept de proximité : recherche d’agents économiques “proches”, étude de réseaux de diffusion des phénomènes, formation des coalitions en théorie des jeux, analyse locale en reconnaissance des formes, classification et affectation des objets à des groupes, en fonction de leurs caractéristiques. Chacun a ressenti comme une contrainte incompatible avec le terrain étudié, le capital d’axiomes constituant la topologie. D’où l’idée de développer une “topologie” mieux adaptée aux problèmes rencontrés, et ne pas, envers et contre tout, contraindre le réel à subir une axiomatique ne lui convenant pas » (Belmandt 1993, p. 13)

Cinq topotypes.

Le connexe. Deux parties sont connexes entre elles quand l’une peut être atteinte en partant de l’autre ; elles sont reliées et non pas séparées. Le réseau est classiquement la figure emblématique de ce type de rapport. Nous verrons que cette relation entre réseau et connexe doit être relativisée.

Le lieu. Lorsque toutes les parties d’un ensemble sont telles qu’au bout d’un processus d’extension, elles ne sont plus qu’une, donc toutes identiques après l’application du processus d’extension, nous qualifierons de lieu l’ensemble.

La communauté. Le deuxième degré correspond à l’intersection entre les parties qui ne se recouvrent pas totalement. Un ensemble de parties constitue une communauté dès lors qu’elles ont toutes en commun quelques éléments.

L’agglomérat. Ce troisième niveau de relation est caractérisé par la contiguïté entre les parties. Communément une partie, n’importe laquelle, est en contact avec l’ensemble des autres parties par l’intermédiaire d’au moins l’une d’entre elles.

L’amas. À l’inverse, lorsque une partie ne peut pas être atteinte ou ne permet pas d’atteindre son complémentaire, elle est séparée du restant. La non-connexité caractérise l’amas.

L’éclairage que peut apporter la prétopologie est fondé sur les rapports prétopologiques entre les parties d’un ensemble, la proximité et l’éloignement, la relation et la séparation. Ces rapports sont fondés sur les seuls cinq types de proximité et d’éloignement que peuvent entretenir entre elles les parties.

Un ensemble est une communauté si toutes ses parties ont un sous-ensemble commun.

Le centre de la communauté étant au sein de l’intersection des accroissements des parties, il ne peut se situer que dans leur frontière, soit au sein de leur bord ou au sein de leur abord. En effet, l’intérieur d’une partie est ce qu’il en reste après l’accroissement de son complémentaire. Le centre de la communauté ne peut être au-delà de cette extension de la partie, donc dans aucun intérieur.

Alors qu’un lieu est une communauté, l’inverse n’est généralement pas vrai.

C’est une forme d’organisation telle que n’importe quelle partie est contigüe au restant de l’ensemble. La contiguïté est habituellement définie comme étant un « bord à bord » entre deux objets, sans qu’il y ait d’espacement entre eux.

Un ensemble E est un agglomérat si : ∀ P∈P(E), a(P)∩aC(P)≠∅

Un ensemble E est un agglomérat si la frontière de n’importe laquelle de ses parties possède une intersection non vide avec la frontière de son complémentaire : ∀ P ∈P(E), δ(P)∩δ(C(P))≠∅

Alors qu’une agglomération urbaine est un agglomérat de par la contigüité topographique des communes ou sous-ensembles de communes qui la constituent, la définition prétopologique d’un agglomérat est telle qu’il est possible, par exemple, de configurer un ensemble d’agglomérations urbaines lui-même en agglomérat, par le choix d’un opérateur d’extension ad hoc, bien qu’il n’y ait pas de contigüité topographique

Une communauté est un agglomérat. L’inverse n’est pas vrai, en règle générale.

Le réseau n’est donc pas un topotype particulier ; c’est un ensemble organisé par des relations entre les éléments qui composent l’ensemble

Le passage du métrique au topologique, grâce au caractère opératoire de la prétopologie, permet alors de rendre compte d’une géographie complexe, qui n’est pas basée sur la seule distance ou sur une palette de distances, quantitatives et qualitatives, mais sur tout un ensemble d’opérateurs diversifiés, engagés à la fois dans le placement des réalités et la compréhension des morphologies spatiales. Ces opérateurs, qui sont des expressions multiples du processus d’extension, peuvent s’appuyer sur la distance mais également en être partiellement ou totalement détachés.

Elle revient à donner la faveur à des types de sous-ensembles qui font, par leurs relations, l’espace habité ; la prétopologie est une structure qui fait alors des ensembles habités des espaces.

Un intérieur peut être un bord géographique, une frontière au milieu de l’espace, et le lointain dans le voisinage habituel.

Le second enseignement de la prétopologie porte sur la relativité d’une morphologie ; elle dépend explicitement d’un opérateur d’extension. Un changement d’opérateur peut bouleverser un ordre donné proche, intermédiaire, lointain, comme il peut modifier le statut prétopologique des parties, d’être ouvertes, non ouvertes, fermées, non fermées ; ce qu’est l’espace dépend bien d’une structure[18].

Il n’y a pas une topologie des espaces habités, mais une diversité liée à la pluralité possible des processus d’extension, c’est-à-dire des modes d’exploration de ces espaces, une pluralité que l’on peut lier aux modes d’habiter, d’être acteurs de la configuration de ces espaces. Seule la structure est commune.

L’ensemble possède un élément particulier (ø) le vide, c’est-à-dire le rien[8].